.RU

Отчет по исследовательской работе. Тема: Краевые задачи оду


Кафедра прикладной математики и вычислительной техники


Отчет по исследовательской работе.

Тема: Краевые задачи ОДУ


Выполнил студент ГИП-110

Колесникова Т.В

Руководитель

Зеленых А

Работу проверил

Пиявский С.А


Самара, 2010


Оглавление

  1. Теоретический обзор обыкновенных дифференциальных уравнений…………………………………………………………………………..….3

  2. Определение краевой задачи. Методы решения краевых задач……………………………………………………………………………………....3

2.1 Линейная краевая задача…………………………………..5

2.2 Метод численного построения общего решения…………….5

2.3  Конечно-разностный метод (метод прогонки)…………...6

2.4 Нелинейная краевая задача………………………………...7

2.5 Метод стрельбы……………………………………………..7

2.6  Метод линеаризации (метод Ньютона)……………………8

  1. Задача Коши как пример краевой задачи ОДУ………………………9

  2. Пример решения задачи Коши методом Эйлера в Excel……….10



Введение

Актуальность проблемы рассмотрения ОДУ определяется возможностью формирования и изучения математической моделей современного мира.
Например, модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений.

Цель работы: Исследование краевых задач ОДУ.

Задачи работы



1.Теоретический обзор ОДУ

 ^ Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):



(1)

(все три переменные x, y, F - действительны). 

ОДУ первого порядка. Как следует из определения (1) обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение



(2)

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

;

(3)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (3) как

;

(4)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид  или . 


^ 2.Краевая задача

Краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

Решение краевой задачи ищется в виде суммы линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Пример краевой задачи:



(система неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, заданная на участке [0;^ T])

Граничные условия (общий вид для всех краевых задач): Cx(0) + Dx(T) = B

Где A,C,D — матрицы, x — вектор неизвестных, a — n-вектор (делающий систему неоднородной), B — n-вектор

Общий вид решения:

Удовлетворение граничных условий достигается за счёт подбора коэффициентов ai. Эти коэффициенты находятся путём решения системы линейных уравнений.

Примером двухточечной краевой задачи является задача:

           

                                                                                                           (8.1)

с граничными условиями на обоих концах отрезка  на котором надо найти решение  На этом примере мы схематически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

Если функция  в (8.1) линейна по аргументам у и  то мы имеем линейную краевую задачу, иначе — нелинейную краевую задачу.

^ 2.1. Линейная краевая задача

Рассмотрим частную, но довольно распространенную краевую задачу следующего вида:

               

                                                                                                           (8.2)

Для этой задачи проиллюстрируем два способа решения: один основан на идее численного построения общего решения линейного дифференциального уравнения, другой (конечно-разностный) сводит исходную дифференциальную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений, решение которой находится методом прогонки.

^ 2.2. Метод численного построения общего решения

Для нахождения решения краевой задачи (8.2) можно численно построить решение дифференциального уравнения, представимое в виде



где  — какое-либо решение неоднородного уравнения



а  и  — два любые линейно независимые решения однородного уравнения  Постоянные  и  находятся из граничных условий задачи (8.2).

Так как решения    произвольны, то их можно построить различными способами. Например, можно задать какие-то начальные условия и решить одну задачу Коши для неоднородного и две задачи Коши для однородного уравнений. Эти условия, в частности, могут быть такими:

      — для неоднородного уравнения;

       

       — для однородного уравнения.

Однако при реализации этого способа, например, в случае  для рассматриваемого уравнения могут возникнуть трудности, связанные с неустойчивостью задачи Коши. В этом случае можно попытаться построить    с помощью решения одной краевой задачи для неоднородного уравнения и двух краевых задач для однородного уравнения. Краевые условия для этих задач могут быть, например, следующими:

      — для неоднородного уравнения;

       

       — для однородного уравнения.

Эти задачи могут быть решены методом прогонки. Условия устойчивости метода прогонки при  как легко проверить, выполнены. Этот подход может оказаться полезным, если краевые условия таковы, что для исходной задачи (8.2) метод прогонки применен быть не может.

Отметим, что с учетом специфики краевых условий исходной задачи можно строить общее решение вида



где  — некоторое решение неоднородного уравнения, а  — некоторое решение однородного уравнения.

^ 2.4. Конечно-разностный метод (метод прогонки)

При нахождении решения линейной краевой задачи:

           

         

для  методом построения общего решения, если оно находится с помощью решения задач Коши, могут возникнуть трудности, связанные с вычислительной неустойчивостью задачи Коши.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться разностной схемой:



                           

и решить разностную задачу методом прогонки. Условия применимости метода прогонки при  как легко проверить, выполнены. Подробнее о методе прогонки см. в [1–4, 17, 31]. В [17] рассмотрены различные варианты метода прогонки.

^ 2.5. Нелинейная краевая задача

Краевая задача

           

                                                                                                            (8.3)

является нелинейной краевой задачей, если функция  нелинейна хотя бы по одному из аргументов y или 

В настоящей работе реализованы два способа решения нелинейных краевых задач: метод стрельбы и метод линеаризации (метод Ньютона), который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач.

^ 2.6. Метод стрельбы

Метод стрельбы для решения краевой задачи (8.3) базируется на том, что имеются удобные способы численного решения задачи Коши, т. е. задачи следующего вида

  

                              (8.4)



где  — ордината точки  из которой выходит интегральная кривая;  — угол наклона интегральной кривой к оси x при выходе из точки  (рис. 8). При фиксированном  решение задачи (8.4) имеет вид  При  решение  зависит только от :



Используя указанное замечание о решении задачи Коши (8.4), можно задачу (8.3) переформулировать следующим образом: найти такой угол  при котором интегральная кривая, выходящая из точки  под углом  к оси абсцисс, попадет в точку 

                                                                                      (8.5)

Решение задачи (8.4) при этом  совпадает с искомым решением задачи (8.3). Таким образом, дело сводится к решению уравнения (8.5) (рис. 9). Уравнение (8.5) — это уравнение вида



где 

Оно отличается от привычных уравнений лишь тем, что функция  задана не аналитическим выражением, а с помощью алгоритма численного решения задачи (8.4).

Для решения уравнения (8.5) можно использовать любой метод, пригодный для уточнения корней нелинейного уравнения, например, метод деления отрезка пополам, метод Ньютона (касательных) и др. Метод Ньютона здесь предпочтительнее (если имеется достаточно хорошее начальное приближение) из-за высокой стоимости вычисления одного значения функции F() (нужно решить задачу Коши (8.4) с данным ).

Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи (8.3) к вычислению решений задачи Коши (8.4), хорошо работает в том случае, если решение  «не слишком сильно» зависит от . В противном случае он становится вычислительно неустойчивым, даже если решение задачи (8.3) зависит от входных данных «умеренно».

При решении уравнений  методом деления отрезка пополам, мы задаем  и  так, чтобы разности  и  имели разные знаки. Затем полагаем



Вычисляем  Затем вычисляем  по одной из формул:

              или               

в зависимости от того, имеют ли разности  и  соответственно разные или одинаковые знаки. Затем вычисляем  Процесс продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность 

В случае использования для решения уравнения  метода Ньютона задаем  а затем последующие  вычисляем по рекуррентной формуле

             n = 0, 1, …

Производная  может быть вычислена по одной из формул численного дифференцирования, например, первого порядка аппроксимации:



^ 2.8. Метод линеаризации (метод Ньютона)

Метод Ньютона сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач и состоит в следующем.

Пусть для нелинейной краевой задачи (8.3) известна функция удовлетворяющая граничным условиям и грубо приближенно равная искомому  Положим

                                                                       (8.9)

где  — поправка к нулевому приближению  Подставим (8.9) в уравнение (8.8) и линеаризуем задачу, используя следующие равенства:







Отбрасывая остаточный член  получим линейную краевую задачу для нахождения поправки 



                                                                                                             (8.10)

где

             



Решая линейную краевую задачу (8.10) каким-либо численным методом, найдем поправку  и примем за первое приближение



Аналогично, зная приближение  положим  и найдем следующее приближение. Продолжая процесс до тех пор, пока не будут выполнены неравенства

            

где  — требуемая точность, найдем приближенное решение исходной нелинейной задачи.

^ 3. Задача Коши.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0.

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

  1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

  2. Если решение существует, то какова область его существования?

  3. Является ли решение единственным?

  4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле напрвлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.

Различные постановки задачи Коши











  1. Пример решения задачи Коши в Excel






Программа для расчета задачи Коши методом Эйлера




Заключение

Выполнен теоретический обзор по проблеме исследования краевых задач ОДУ.

Изучены примеры и методы решения краевых задач ОДУ.

Выполнен расчет в Excel краевой задачи систем ОДУ методом Эйлера с наглядным интерфейсом.

Рассмотрен конкретный пример применения краевых задач ОДУ.

Таким образом, задавая начальные и конечные условия в ОДУ становится возможным получить не только качественные характеристики явлений, но и считать с заданной степенью точностью ход реальных процессов в природе.\


Литература

1.Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). 2001

2. Хайрер Э., Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. 1999

3. Тихонов, Васильева, Свешников - "Дифференциальные уравнения". 

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения (2000)

5. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (1985)

6. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (том 5)

7. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (1980)

8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Курс высшей математики и математической физики.

osobennosti-lihtenshtejna-gatilova.html
osobennosti-marketingovoj-deyatelnosti-rukovodstvo-po-organizacii-selskogo-turisticheskogo-biznesa-v-altajskom.html
osobennosti-mehanizmov-regulyacii-inotropii-serdca-kris-v-postnatalnom-ontogeneze.html
osobennosti-metodiki-prepodavaniya-osnov-svetskoj-etiki-v-nachalnoj-shkole.html
osobennosti-mezhlichnostnih-otnoshenij-v-gruppe-sverstnikov-mladshego-shkolnogo-vozrasta.html
osobennosti-mirovoj-ekonomiki-na-sovremennom-etape.html
  • assessments.bystrickaya.ru/chto-delat-ko-podhoda-v-nomere-predstavleni.html
  • klass.bystrickaya.ru/41-accounting-gives-the-companys-management-the-information-to-evaluate.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/peke-slovarya-avtolyubitelya-ot-a-do-ya.html
  • reading.bystrickaya.ru/menyu-trebovaniya-predlagaemoe-posobie-schitaetsya-primernim-i-stavit-svoej-celyu-pomoch-vsem-tem-kto-rabotaet-v.html
  • institut.bystrickaya.ru/srednevekove-poryaz-stranica-38.html
  • crib.bystrickaya.ru/klassnij-chas-zhivi-lesnaya-krasavica.html
  • crib.bystrickaya.ru/instrukciya-polzovatelya-stranica-6.html
  • control.bystrickaya.ru/c-perevod-n-butirina-v-stolbov.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochij-uchebnij-plan-po-specialnosti-russkij-yazik-i-literatura-s-dopolnitelnimi-specializaciyami-korrektura-teksta.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/1-mimesis-2-katarsis-test-po-kulturologii-kafedra-gumanitarnih-nauk.html
  • desk.bystrickaya.ru/osobennosti-komponentov-prirodi-avstralii-7-klass.html
  • letter.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-vipolneniyu-referatov-po-discipline-vvedenie-v-specialnost.html
  • studies.bystrickaya.ru/doklad-po-volokonnoj-optike.html
  • turn.bystrickaya.ru/pokazivayushie-i-samopishushie-manometri-vakuummetri-i-manovakuummetri-kurs-lekcij-dlya-studentov-specialnosti-140104.html
  • tests.bystrickaya.ru/lekciya-filtraciya-dannih-v-sistemah-analiza-i-prognoza.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/proizvedeniya-prudona-do-poslednego-vremeni-vsyo-eshe-u-nas-malodostupni-oni-ne-pereizdavalis-chut-li-ne-s-1919-goda-i-nikogla-ne-bili-vostrebovani-ni-vlas-stranica-6.html
  • literature.bystrickaya.ru/byudzhetnaya-sistema-subektov-rf-analiz-oblastnogo-byudzheta-sahalinskoj-oblasti-na-2001god-chast-2.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lr-i-lrs-soderzhashie-dubilnie-veshestva-tannidi.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/lekciya-vozrastnie-osobennosti-semiklassnikov.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/v-voprosi-dlya-samokontrolya-programma-disciplini-sociologiya-emocij-dlya-napravleniya-040200-62-sociologiya-podgotovki.html
  • textbook.bystrickaya.ru/istochnik-vdohnoveniya-sonetov-shekspira-ne-smuglaya-ledi-a-trubka-s-marihuanoj.html
  • literature.bystrickaya.ru/cink-i-volosi-zakoni-zdorovya.html
  • shkola.bystrickaya.ru/nacionalnaya-kuhnya-grecii-i-makedonii.html
  • education.bystrickaya.ru/21by-19082011-pozzhe-na-pensiyu-poluchi-bonus-monitoring-smi-rf-po-pensionnoj-tematike-19-avgusta-2011-goda.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/laboratornaya-rabota-7-obrabotka-fajlov-predikati-dlya-raboti-s-fajlami.html
  • reading.bystrickaya.ru
  • institut.bystrickaya.ru/statya-321.html
  • thesis.bystrickaya.ru/programma-iz-proizvedenij-raznih-stilej-s-obyazatelnim-vklyucheniem-sochineniya-konca-xx-nachala-xxi-vv-hronometrazh-ne-bolee-15-minut-vozrastnie-kategorii-sootvetstvuyut-nominacii-pevci.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/psihologiya-obshih-sposobnostej-izdanie-2-e-rasshirennoe-dopolnennoe-stranica-30.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/novij-poryadok-v-evrope-4-ekonomika-germanii-v-period-vejmarskoj-respubliki-i-fashistskoj-diktaturi-1919-1945.html
  • learn.bystrickaya.ru/etnopedagogicheskaya-napravlennost-doshkolnogo-vospitaniya-v-otechestvennoj-pedagogike-vtoraya-polovina-h-i-h-nachalo-hh-i-vv-13-00-01-obshaya-pedagogika-istoriya-pedagogiki-i-obrazovaniya.html
  • bukva.bystrickaya.ru/strizhka-i-okraska-chast-6.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/programma-metodicheskie-rekomendacii-po-izucheniyu-disciplini-bezopasnost-zhiznedeyatelnosti-.html
  • spur.bystrickaya.ru/legenda-o-dinozavre.html
  • testyi.bystrickaya.ru/47-fotografiya-rabochego-vremeni-frv-zadachi-i-soderzhanie-rabot-po-konstruktorskoj-podgotovke-proizvodstva-20.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.